多项式回归算法

算法解读

多项式回归是回归分析的一种形式，它允许因变量 \(y\) 与自变量 \(x\) 之间的关系模型化为 \(x\) 的 \(n\) 次多项式。多项式回归的标准形式如下:
$$
y=\beta_0+\beta_1 x+\beta_2 x^2+\beta_3 x^3+\ldots+\beta_n x^n+\epsilon
$$

其中:
– \(y\) 是因变量。
– \(x\) 是自变量。
– \(\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_n\) 是模型参数。
– \(n\) 是多项式的次数。
– \(\epsilon\) 是误差项。

算法的关键特性

非线性关系的表达
多项式回归能够捕获和描述因变量和自变量之间的非线性关系。通过引入自变量的高次项，它能模拟数据中的曲线关系。例如，在二次多项式回归中，我们不仅考虑 \(x\) ，还考虑 \(x^2\)，这允许模型拟合数据中的曲线关系，而非仅限于直线。

模型的拟合能力
高拟合能力：多项式回归具有较强的拟合能力。当我们增加多项式的次数，模型能够拟合更复杂的数据形状，因为它能表达更多的非线性关系。

过拟合的风险：虽然增加多项式次数可以提高模型的拟合度，但它也带来了过拟合的风险。过高的次数可能使模型过于复杂，捕获到数据中的噪声而非真实的关系。

参数的数量和复杂度
多项式回归模型的参数数量和模型复杂度与多项式的次数直接相关。随着次数的增加，模型的参数数量也增加，这增加了模型学习的复杂度，同时也增加了过拟合的风险。

多重共线性问题
由于多项式回归涉及到自变量的高次项，这可能导致多重共线性问题。例如， \(x\) 和 \(x^2、x^3\) 等 可能高度相关，这可能会导致模型估计的不稳定性和解释的困难。

外推能力有限

虽然多项式回归能够很好地拟合训练数据中的复杂关系，但它对于数据范围外的预测（外推）通常表现不佳。模型可能会给出不切实际的预测值，特别是对于高次多项式模型。

局部拟合能力

多项式回归具有较强的局部拟合能力，它可以适应数据在不同区域的变化。但这也意味着，如果数据的某个局部区域有异常值或噪声，模型可能会受到较大影响。

综上所述，多项式回归提供了一种强大的工具来模拟因变量和自变量之间的非线性关系。正确使用时，它能够捕获复杂的数据模式。然而，需要谨慎选择多项式的次数，并考虑可能出现的问题（如过拟合和多重共线性等）。在实际应用中，多项式回归常用于以下场景：

• 当线性模型不足以描述数据之间的关系时。
• 当数据的分布或因变量与自变量之间的关系具有曲线特性时。

算法实施步骤

1. 选择多项式次数：基于问题的背景和探索性数据分析来选择一个合适的多项式次数，这一超参数的选择会直接影响模型的结果。
2. 构造多项式特征：根据选择的次数，构造这些特征。
3. 模型拟合：使用梯度下降算法或其他优化算法来估计模型参数。
4. 模型评估：使用适当的评估指标和图形来评估模型的性能。
5. 模型选择：可能需要通过交叉验证来比较不同次数的多项式模型，并选择最佳的一个。

我们可以看一个例子，如下：

在上述的六幅图中，我们可以看到不同阶数多项式对同一组数据的拟合效果。

阶数为1：线性模型无法捕获数据中的复杂非线性关系。

阶数为2和3：虽然模型开始捕获数据中的非线性关系，但还不能很好地拟合数据。

阶数为4：模型开始展现出捕获复杂非线性模式的能力，但仍有改进空间。

阶数为5：模型相较于前四个表现得更好，因为数据是基于五次多项式生成的，它能较好地捕获数据的非线性结构。

阶数为6：模型虽然能够很好地拟合数据，但我们可以注意到它在一些区域（比如两端）产生了一些小的波动，这可能是过拟合的迹象，模型可能在捕获一些不必要的噪声。

通过这些图像，我们可以直观地理解不同阶数的多项式在拟合能力上的差异。选择合适的多项式阶数是一个权衡过程——我们希望模型能够足够复杂以捕获数据中的真实模式，但也不希望它过于复杂以至于捕获数据中的噪声。这就是为什么在实际应用中，我们通常会使用一些模型选择技术（如交叉验证）来确定一个合适的模型复杂度。