不定积分和反导数

不定积分在机器学习中主要用于计算函数的原函数，尤其是在概率密度函数和累积分布函数之间的转换中。例如，在概率论和统计中，累积分布函数 (CDF) 是概率密度函数 (PDF) 的不定积分。对于某些模型，如概率图模型，可能需要在PDF和CDF之间进行转换。

不定积分和反导数是一个概念的两种不同说法，其本质就是求导过程的逆过程。“求导过程的逆过程”指的是，如果先对函数进行微分得到其导数，然后再进行不定积分，将得到原始函数（可能加上一个常数）。

不定积分表示的是一个函数的原函数集合，给定一个函数\(f(x)\)，其不定积分表示为：\(\int f(x)\,\mathrm{d}x\)。结果是一个函数（或函数族），而不是一个具体的数值。常常在这个结果中加入一个常数项C，因为对结果进行微分后，任何常数都会消失。

反导数是描述导数的逆操作的另一种说法。如果函数\(F(x)\)是函数\(f(x)\)的反导数，那么\(F'(x)=f(x)。

其实可以从反函数的角度来理解反导数，例如指数函数和对数函数互为反函数，举个具体的例子：

已知一种病毒每分钟感染人数增加一倍，想知道六分钟能感染多少人，可以写成指数函数进行求解，即\(2^6=64\)。如果现在已知感染了
64个人，想知道需要几分钟，那么则写成对数函数进行求解，即\(\log_264=6\)。从这个例子可以看出，所谓的 “反” 就是将已知条件和求解目标进行对换而已。

上面的类比其实并不严谨。反导数实际上是一个集合，它是一族函数。因为常数的求导结果为0，所以不定积分的求解结果上还要加一个常数项C，这个C可以等于任何常数，即：

$$\int dy=y+C$$