梯度下降算法（Gradient Descent）-点头深度学习网站

算法引言

梯度下降算法，这个在机器学习中非常常见的算法，可以用下山的例子来形象地解释。想象一下，你在一座山的顶端，目标是要以最快的速度下到山底。但由于浓雾遮挡，你看不清整座山的轮廓，只能感觉到脚下的坡度。这时候，你会选择沿着最陡峭的坡度方向走，因为那很可能是下山最快的路线。在梯度下降算法中，”下山”就是寻找损失函数的最小值，”最陡峭的坡度”则对应着梯度，我们通过计算梯度并不断调整参数，来逐渐接近这个最小值。

算法应用

梯度下降算法的应用非常广泛。在机器学习领域，尤其是在训练神经网络时，它是最常用的优化算法之一。通过调整模型的参数以最小化损失函数，梯度下降帮助模型学习从数据中提取模式。

梯度下降算法的潜在价值在于它的通用性和效率。它可以应用于几乎任何可以微分的损失函数，适用于大规模数据集和复杂的模型。虽然它有一些局限性，比如容易陷入局部最小值，或者在高维空间中效率降低，但通过各种改进的版本（如随机梯度下降、小批量梯度下降）以及与其他技术（如动量法或自适应学习率算法）的结合，这些问题可以得到有效缓解。

算法计算流程

梯度下降算法是一种用于寻找函数最小值的优化算法。它通过不断迭代，更新参数值以减少函数值。以下是梯度下降算法的详细计算流程，以函数 $y=x^2$ 为例:
1. 定义:
梯度下降算法通过计算函数的梯度来找到该函数的局部最小值。在多维空间中，梯度是函数在某一点上升最快的方向，而梯度的负方向就是下降最快的方向。通过在梯度的负方向上调整变量，可以使函数值逐渐减小。
2. 公式:
一般的梯度下降公式为:
$x_{\text {new }}=x_{\text {old }}-\alpha \cdot \nabla f(x)$
其中， $x_{\mathrm{old}}$ 是当前点的坐标， $x_{\mathrm{new}}$ 是更新后的坐标， $\alpha$ 是学习率 (步长)， $\nabla f(x)$是函数在 $x$ 点的梯度。

3. 例子:
对于函数 $y=x^2$ ，它的梯度 (导数) 为 $\frac{d y}{d x}=2 x$ 。
假设初始点 $x_0=3$ ，学习率 $\alpha=0.1$ 。
计算过程如下:
– 第1次迭代:
$$
\begin{aligned}
& x_1=x_0-\left.\alpha \cdot \frac{d y}{d x}\right|_{x=x_0}=3-0.1 \cdot 2 \cdot 3=2.4 \\
& y_1=x_1^2=2.4^2=5.76
\end{aligned}
$$
– 第2次迭代:
$$
\begin{aligned}
& x_2=x_1-\left.\alpha \cdot \frac{d y}{d x}\right|_{x=x_1}=2.4-0.1 \cdot 2 \cdot 2.4=1.92 \\
& y_2=x_2^2=1.92^2=3.6864
\end{aligned}
$$

以此类推，每次迭代后 $x$ 的值都会更新， $y$ 的值逐渐减小。
4. 注意事项:
– 学习率的选择至关重要，过大可能导致超调，过小可能导致收敛速度缓慢。
– 梯度下降可能只能找到局部最小值而非全局最小值。
– 初始点的选择可能影响最终结果。

5. 关键点使用:
– 在实际应用中，如机器学习的参数优化，首先需要确定损失函数，然后通过梯度下降来最小化这个损失函数。
– 在每次迭代中计算损失函数的梯度，并更新参数。
– 监控损失函数的变化情况，直到损失函数收敛或达到一定的迭代次数后停止迭代。

代码示例

现在，让我们来生成一段解决这个问题的代码。我们将模拟梯度下降算法来寻找一个函数的最小值。为了简化问题，我们可以假设这个函数是一个简单的二次函数，比如 $f(x)=x^2$ 。我们的目标是找到使得 $f(x)$ 最小的 $x$ 值。在这个例子中，显然答案是 $x=0$ ，但我们将通过梯度下降算法来逼近这个解。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数和它的导数
def f(x):
    return x ** 2

def df(x):
    return 2 * x

# 梯度下降算法
def gradient_descent(starting_point, learning_rate, n_iterations):
    x = starting_point
    trajectory = [x]
    for _ in range(n_iterations):
        gradient = df(x)
        x = x - learning_rate * gradient
        trajectory.append(x)
    return np.array(trajectory)

# 参数设置
starting_point = 10  # 起始点
learning_rate = 0.1  # 学习率
n_iterations = 50    # 迭代次数

# 执行梯度下降
trajectory = gradient_descent(starting_point, learning_rate, n_iterations)

# 绘制结果
x = np.linspace(-11, 11, 400)
y = f(x)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, label='f(x) = x^2')
plt.scatter(trajectory, f(trajectory), color='red', marker='o', label='Gradient Descent Steps')
plt.title('Gradient Descent Optimization')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

代码的运行结果如下：