重识积分

积分的几何解释是：该函数曲线下的面积。

积分的物理解释是： 积分的物理意义随不同物理量而不同，比如对力在时间上积分就是某段时间内力的冲量；如果是对力在空间上的积分就是某段位移里力做的功。

积分的代数解释是：更精细的乘法运算。

这里如何理解积分是更精细的乘法运算？还是放到路程速度时间这个物理系统中举子：假设现在速度v = 5m/s、时间t = 10s，行驶距离s怎么求？ 很简单正常的乘法即可处理（s=vt）。但是有个前提，即速度是恒定的。那如果是变速的呢？ 这就是积分的内容了。

假设现在的速度v=2t，求第10时刻行驶过的路程？积分的思想是将时间段尽可能的切分成小段，以每一小段起始时刻的瞬时速度作为这一小段时间内的平均速度，最后把这些小段时间内各自形式的路程加起来就是10秒内行驶的总路程，具体解法如下：

1s时，小汽车的速度\(v_1 = 2t=2 \cdot 1 = 2(m/s)\)；2s时，小汽车的速度\(v_2 = 2t = 2\cdot 2=4(m/s)\)；3s时，小汽车的速度\(v_3 = 2t = 2\cdot 3 = 6(m/s)\)；依次算下去，10s时，小汽车的速度\(v_{10} = 2t = 2\cdot 10=20(m/s)\)。再用乘法运算计算出每一小段时间（\(t=1s\)）的距离，即：

$$s_1 = v_1t = 2m/s \cdot 1s =2m \\ s_2 = v_2t = 2m/s \cdot 2s=4m \\ \vdots \\ s_{10} = v_{10} t=2m/s\cdot 10s=20m$$

再将这些距离加起来，引入一个加和符号\(s=sum_{i=1} ^{10}s_i\)，即：

$$\begin{aligned}&=\sum_{i=1} ^{10}s_i\\ &=s_1+s_2+\cdots +s_{10}\\ &=2+4+6+\cdots +20\\ &=\frac{10(2+20)}{2}\\ &=110\end{aligned}$$

上述公式中将10秒钟以一秒为间隔切分成10个小段时间，最后求得的路程是110m，可视化图片如下图所示。可以想象，当时间间隔足够小时，这个速度函数图像近似三角形，此时的路程就是这个三角形的面积等于100m，刚刚近似求得的110m离这个正确答案已经非常接近了。

所以积分的本质就是更精细的乘法，最后求和就可以得到输出结果了。一个简单的归类方式，这里可以把整除的加减乘除归为初等数学，把微积分这种精细的乘除运算归为高等数学。