定积分与牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式提供了一种计算定积分的方法，即通过求取两个不定积分的差值。在机器学习中，这常常用于计算概率或期望值。例如在贝叶斯机器学习中，经常需要计算概率分布的期望值或方差。使用牛顿-莱布尼茨公式，可以通过求解不定积分来得到这些值。

牛顿-莱布尼茨公式揭示的是某函数在一个区间内的积分与该函数的反导数的关系，公式表示为：

$$\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x = F(b)-F(a)$$

举个例子，已知速度\(V(t)=-\frac{4}{9}\left( t-\frac{3}{2}\right)^2+1\)，求\(t=0\)到\(t=3\)的路程。求解方法有两种，一种是按照积分的定义，将\(t=0\)到\(t=3\)这个时间段尽可能的细分，将求解曲线下面积的问题转化成求解这些矩阵面积之和的问题。另一种方法就是利用牛顿莱布尼茨公式进行求解。如下图所示，

对速度求不定积分：

$$\int v(t)\,\mathrm{d}t = -\frac{4}{27}\left(t-\frac{3}{2}\right)^3+t+c\\ \int_{0}^{3}f(x)\, \mathrm{d}x = F(3)-F(0)=-\frac{4}{27}\left(3-\frac{3}{2}\right)^3+3+c-(-\frac{4}{27}\left(0-\frac{3}{2}\right)^3+0+c)=2$$