微分与函数的单调性、极值和凹凸性

函数单调性

函数单调性定义：若\(fx)\)在\((a,b)\)内可导，如果\(f'(x)>0\)，那么函数在\((a,b)\)内单调递增；如果\(f'(x)<0\)，那么函数在\((a.b)\)内单调递减。

用微分的定义（微分解释了函数变动的规律）也容易解释单调性，如图
一所示。

(a)\(\frac{dy}{dx}>0\)的情况(b)\(\frac{dy}{dx}<0\)的情况

当x的变动引起的函数变动是正增长时，函数单调递增。当\(x\)的变动引起的函数变动是负增长时，函数单调递减。

函数的极值

函数的极值定义：如果函数\(f(x)\)在点\(x=c\)处可导，且其导数等于0；当在\(c\)的左领域\(f'(x)>0\)，右邻域\(f'(x)<0\)时,\(f(c)\)为\(f(x)\)的极大值；当在\(c\)的左领域\(f'(x)<0\)，右邻域\(f'(x)>0\)时, \(f'(c)\)为 \(f'(x)\)的极小值，如图二所示。

图二 函数的极值

函数的凹凸性

最后，理解一下函数的凹凸性，这与函数的二阶导数相关。

函数的凹凸性定义：如果函数\(f(x)\)在\((a,b)\)内连续且二阶可导，当在\((a,b)\)内\(f^{\prime \prime} (x)>0\)，则函数为凹函数；当在\((a,b)\)内\(f^{\prime \prime} (x)<0\)，则函数为凸函数，如图三所示。

图三 函数x的三次方

考察\(f(x)=x^3\)在第一象限内的性质，其一阶导数\(f'(x) = 3x^2\)始终大于
0
（当\(x>0\)时），这明确指出了在第一象限内，函数是单调递增的。进一步观察其二阶导数\(f^{\prime \prime}(x) = 6x\)，它在第一象限也始终大于
0
（当\(x>0\)时），这意味着函数的单调递增速度在这个区域内是持续加快的，因此在第一象限，\(f(x)=x^3\)表现为凸函数。

相对地，在第三象限，虽然函数的一阶导数\(f'(x)=3x^2\)仍然大于
0
，但由于\(x\)在这个象限是负数，函数实际上是单调递减的。其二阶导数\(f^{\prime \prime}(x)=6x\)在第三象限为负，这意味着函数的单调递减速度在这个区域内是持续减缓的，所以在第三象限，\(f(x)=x^3\)表现为凹函数。