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1.两点分布

如果随机变量(X) 的分布列如下：

$$\begin{array}{l}P{X=1}=p\bigl(0<p<1\bigr)\\P{X=0}=q=1-p\end{array}$$

则称(X) 服从两点分布。两点分布也叫伯努利分布（Bermoulli）或0-1分布。

两点分布虽简单但很有用。当随机试验只有2个可能结果，且都有正概率时，就确定一个服从两点分布的随机变量。例如检查产品质量是否合格：检查某车间的电力消耗是否超寸负荷：某射丰对目标的一次射击是否中靶等试验都可以用服从一点分布的随利变量来描谜

2.二项分布

如果随机变量(X) 的概率分布为：

$$P(X)=k=C_{_n}^kp^kq^{n-k},\mathrm{k}=0,1,2,\cdots,n,0<p<1,q=1-p$$

则称(X) 服从参数为(n,p) 的二项分布。其中，二项定理的系数计算方法如下：

$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

二项分布记为(X\sim B(n,p)) 或(X\sim b(n,p))

服从二项分布的随机变量的直观背景可解释为：重复服从二项分布的实验(n) 次，某事件(A) 发生的次数(X) 是服从二项分布的随机变量。

二项分布有什么用呢？假设遇到一个事情，如果该事情发生次数固定，而想要统计的是成功的次数，那么就可以用二项分布的公式快速计算出概率来，

如何判断是不是二项分布？顾名思义，二项代表事件有2种可能的结果，把一种称为成功；另外一种称为失败。生活中有很多这样2种结果的二项情况，例如表白结果是二项的一种成功：另一种是失败。二项分布符合下面4个特点

（1）做某件事的次数（也叫试验次数）是固定的，用(n) 表示。

（2）每一次事件都有两个可能的结果（成功，或者失败）。

（3）每一次成功的概率都是相等的，成功的概率用(p) 表示

（4）感兴趣的是成功(x) 次的概率是多少。

例题：某一仪器由3个相同的独立工作的元件构成。该仪器工作时每个元件发生故障的概率为0.1。试求该仪器工作时发生故障的元件数(X) 的分布列。

设(X) 为随机变量，可以取以下的数值： (X=0) (仪器中没有一个元件发生故障)： (X=1) (仪器中有一个元件发生故障)： (X=2) (仪器中有两个元件发生故障）： (X=3) （仪器中有三个元件发生故障)

若将对每个元件的一次观察看成一次试验，因每次观察的结果只有2个：发生故障或正常。而发生故障的概率都是0.1，又因为各元件发生故障与否是相互独立的，因此属于二项分布。即(X\sim B(3,0.1)) 。于是(X) 的分布列为：

$$\begin{aligned}
&P{X=k}=C_{k}^{3}\left(0.1\right)^{k}\left(0.9\right)^{3-k},k=0,1,2,3 \\
&P{X=0}=0.9^{3}=0.729 \\
&P{X=1}=C_{3}^{1}(0.1)(0.9)^{2}=0.243 \\
&P{X=2}=C_{3}^{2}(0.1)^{2}(0.9)=0.027 \\
&P{X=3}=0.1^{3}=0.001
\end{aligned}$$

这里读者别害怕数学公式，每一项的含义前面已经讲的很清楚了。这个公式就是计算做某件事情(n) 次，成功(x) 次的概率。很多数据分析工具（Excel，Python，R）都提供了计算工具，只要代入研究问题的数值，就能得到结果

最后提一下二项分布的期望： (E(x)=np) 。表示某事情发生(n) 次，预期成功多少次。那么知道这个期望有什么用呢？做任何事情之前，知道预期结果肯定会对后面的决策有帮助，比如抛硬币5 次，每次概率是1/2，那么期望(E(x)=5\times\frac{1}{2}=2.5) 次，也就是有大约3 次可以抛出正面。再比如投资了5支股票，假设每支股票赚到钱的概率是(80\%) ，那么期望(E(x)=5\times80\%=4) ，也就是预期会有4只股票投资成功赚到钱，