微积分的基本定理

微积分不仅研究一个函数更深刻的性质（即更精细的乘除法），还研究不同函数之间的关系。举一个圆的例子，如果已知圆的周长，怎么求面积？

上图中，当知道周长求面积时就用到了积分的思想：即精细的乘法后求和。具体来说：将圆以同心圆的方式切分并展平，每一个切出来的环就类似于一个长方形。圆的面积就等于这些长方形面积的总和。当把这些长方形按照从低到高的顺序排列后，且切出来长方形的数量无限多时，这些长方形组成的形状类似于三角形，此时面积的求解就等于三角形的面积，即：圆的周长公式为\(L=2\pi r\)，圆的面积公式为\(A=\pi r_2\)；化成三角形后边长分别为半径\(r\)和周长\(2\pi r\)，则面积为\(f(x)=\pi r_2\)。

那么，当已知面积时，能不能求周长呢？当然可以，这其中就用到了求导的思想：即精细的除法，如图：

$$\begin{aligned}S_1&=\pi r^2-\pi(r-\Delta r)^2\\ &=\pi r^2-\pi (r_2-2r\Delta r+\Delta r^2) \\ &=2\pi r \Delta r- \pi \Delta r^2\end{aligned}$$

矩形的面积为：

$$S^2=\Delta r \cdot L$$

圆环的面积约等于矩形的面积，即\(\Delta r \cdot L=2\pi r\Delta r-\pi \Delta r^2\)。约分后周长\(L\)等于\(2\pi r-\pi \Delta r\)。

利用微分思想，当\(\Delta r\)无穷小时，周长\(\displaystyle L=\lim_{\Delta x \to 0} (2\pi r – \pi \Delta r)=2\pi r\)。

对圆环来说，当\(\Delta r\)无穷小时\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}S_1}{\mathrm{d}r}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\pi r \Delta r – \pi \Delta r^2}{\Delta r}=2\pi r\)。

总结一下：

圆的面积公式：\(A=\pi r^2 \quad \quad f(x)=\pi x^2\)；圆的周长公式：\(L=2\pi r\quad \quad g(x)=2\pi x\)。\(f(x)\)求微分等于\(g(x)\)；\(g(x)\)求积分等于\(f(x)\)。根据这个例子就可以引出微积分的基本定理了。

微积分的基本定理可以分为两部分。第一部分：如果\(F\)是\(f\)在闭区间\([a,b]\)上的一个原函数，那么\(\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x = F(b)-F(a)\)，这意味着给定一个连续函数的导数，可以计算该函数在某个区间上的总变化；第二部分：如果\(f\)在闭区间\([a,b]\)上是连续的，并且\(F\)是\(f\)在\([a,b]\)上的一个原函数，那么\(F’=f\)，这意味着给定一个函数，可以找到它的导数，并可以得到函数在每一点上的瞬时变化率。

考虑到圆的例子，这两部分都得到了很好的演示。当从面积函数\(A(r)=\pi r^2\)到周长函数\(C(r)=2\pi r\)时，实际上是在应用微积分的基本定理的第二部分；当从周长函数到面积函数进行积分时，是在应用基本定理的第一部分。

在实际应用中，微积分的基本定理提供了一种强大的工具，能够在积分和微分之间进行转换。这在物理学、工程学、经济学等领域都是非常有价值的。例如，在物理学中，速度与位移之间的关系、电流与电荷之间的关系都可以用这个基本定理来描述；在生态学或生物学中，生物种群的增长率与其总体数量之间的关系也可以用这个定理来描述。

总的来说，微积分的基本定理提供了一个统一的框架，便于我们理解和应用微分和积分在各种不同背景下的关系。