大数定律与中心极限定理

大数定律与中心极限定理是统计学家总结出的自然现象，是概率统计的基石。很多定理和推论都是基于它们之上的研究。

大数法则

讲个故事，一位数学家调查发现，欧洲各地男婴与女婴的出生比例是22：21，只有巴辈是25：24，这极小的差别使他决心去查个究竞。最后发现，当时巴黎的风尚是重女轻男，有些人会丢弃生下的男婴，经过一番修正后，出生比例依然是22：21。中国的历次人口普查的结果也是22:21。人口比例所体现的，就是大数法则。

大数法则（Lawoflargenumbers）又称“大数定律”或“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这类规律就是大数法则。在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的出现的次数近似于它的概率。简单来说就是把频率当作概率。

至于为什么叫平均法则是因为它的数学定义：若对任意的\(n>1\) 都有\(X_{1},X_{2},\cdots X_{n}\) 相互独立，期望为\(m\) ， \(Sn=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}\) ，则\(\frac{S_n}{n}\)收敛到\(m\)。

含义：在\(n\) 很大时，某随机变量序列的均值收敛于它的期望，这里的收敛即“充分接近”。如，样本数量很大时，样本均值依概率收敛于总体均值。

大数法则反映了世界的一个基本规律：在一个包含众多个体的大群体中，由于偶然性而产生的个体差异，着眼在一个个的个体上看，是杂乱无章、毫无规律、难于预测的。但由于大数法则的作用，整个群体却能呈现某种稳定的形态。例如花瓶是由分子组成，每个分子者不规律地剧烈震动。但可曾见过一只放在桌子上的花瓶，突然自己跳起来？

小数法则

大数法则是统计学的基本常识，有人称为“统计学的灵魂”。大数法则虽然威力无穷， 普通人却因其貌不扬而忽视。针对人们在思考时常常无视大数法则的现象，特韦斯基提出了“小数法则”（Lawofsmallnumbers）的概念。“小数法则”不是什么定律或法则，而是一种常见的心理误区。举个简单的例子，在玩抛硬币游戏的时候，如果连续五次抛硬币的结果都是正面，会有很多人倾向于猜测下一次抛硬币的反面的概率比正面大，这就是小数法则带来的心理误区。

中心极限定理

中心极限定理（CentralLimitTheorem）指大量随机变量的和分布趋近于正态分布，即大量（ \(n\rightarrow\infty\) ）、独立、同分布的随机变量之和，近似服从于一维正态分布。讲通俗一些：中心极限定理指的是给定一个任意分布的总体。每次从这些总体中随机抽取\(n\) 个抽样，一共抽\(m\) 次。然后把这\(m\) 组抽样分别求出平均值。这些平均值的分布接近正态分布。服从：

$$\overline{x}\sim N\Bigg(\mu,\Bigg(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Bigg)^2\Bigg)$$

例1-9：现在要统计全国的人的体重，看看我国平均体重是多少。当然，把全国所有人的体重都调查一遍是不现实的。所以假设共调查1000组，每组50个人。然后，求出第一组的体重平均值、第二组的体重平均值，一直到最后一组的体重平均值。中心极限定理表明这些平均值是呈现正态分布的。并且，随着组数的增加，效果会越好。最后，再把1000组算出来的平均值加起来取个平均值，这个平均值会接近全国平均体重。

之所以叫做“中心”，只是突出它的重要性，有两个较为接近的解释。一是，早时的研究者认为正态分布是一切分布甚至万物的中心（《数理统计简史》）：二是，研究和分布的极限定理的人，认为这个定理是数学学科的中心（张宇）