假设检验

假设检验的目的与参数估计的目的相同，都是根据样本求总体的参数，但是思想正好相反。可以把参数估计看作正推，即根据样本推测总体：而假设检验是反证，即先在总体上作某项假设，用从总体中随机抽取的一个样本来检验此项假设是否成立。

假设检验可分为两类：一类是总体分布形式已知，为了推断总体的某些性质，对其参数作某种假设，一般对数字特征作假设，用样本来检验此项假设是否成立，称此类假设为参数假设检验。另一类是总体形式未知，对总体分布作某种假设。例如，假设总体服从泊松分布， 用样本来检验假设是否成立，称此类检验为分布假设检验。

假设检验依据的是小概率思想，即小概率事件在一次试验中基本上不会发生。如果样本数据拒绝该假设，那么说明该假设检验结果具有统计显著性。一项检验结果在统计上是“显著的”，意思是指样本和总体之间的差别不是由于抽样误差或偶然而造成的，而是设立的假设错误，其实这个思想前人早就有过总结：事出反常必有妖。

假设检验的常见术语

（1）零假设（nullhypothesis）：是试验者想收集证据予以反对的假设，也称为原假设， 通常记为\(H0\) 。例如：零假设是检验“样本的均值不等于总体均值”这一观点是否成立。

（2）备择假设（altermativehypothesis）：是试验者想收集证据予以支持的假设，通常记为H。例如：备择假设是检验“样本的均值等于总体均值”这一观点是否成立。

（3）双尾检验（two-tailedtest）：如果备择假设没有特定的方向性，并含有符号“ \(=/\) ”， 这样的检验称为双尾检验。例如上面给出的零假设和备择假设的例子。

（4）单尾检验（one-tailed test）：如果备择假设具有特定的方向性，并含有符号“ \(‘>\) 或“<”，这样的检验称为单尾检验。单尾检验分为左尾（lowertail）和右尾（uppertail）。例如：零假设是检验“样本的均值小于等于总体均值”，备择假设是检验“样本的均值大于总体均值”。

（5）第Ⅰ类错误（弃真错误）：意思是零假设为真时错误地拒绝了零假设。犯第Ⅰ类错误的最大概率记为a（alpha）。

（6）第Ⅱ类错误（取伪错误）：意思是零假设为假时错误地接受了零假设。犯第Ⅱ类错误的最大概率记为b（beta）。

（7）检验统计量（teststatistic）：用于假设检验计算的统计量。例如：z值、t值、f值和卡方值。

（8）显著性水平（levelofsignificance）：当零假设为真时，错误拒绝零假设的临界概率，即犯第一类错误的最大概率，用a表示。显著性水平一般根据正态分布的经验法则( \(68\%\)、\(95\%\) 、\(99\%\) ）进行选取，例如：在\(5\%\) ( \(1-95\%\) ）的显著性水平下，样本数据拒绝原假设。

（9）置信度（confidencelevel）：置信区间包含总体参数的确信程度，即\(1-a\) 。例如： \(95\%\) 的置信度表明，有\(95\%\) 的确信度相信置信区间包含总体参数。

（10）置信区间（confidenceinterval）：包含总体参数的随机区间。

（11）功效（power）：正确拒绝零假设的概率（1-b），即不犯二类错误的概率。

（12）临界值（criticalvalue）：与检验统计量的具体值进行比较的值。是在概率密度分布图上的分位数。这个分位数在实际计算中比较麻烦，它需要对数据分布的密度函数积分来获得。

（13）临界区域（criticalregion）：拒绝原假设的检验统计量的取值范围，也称为拒绝域（rejectionregion），是由一组临界值组成的区域。如果检验统计量在拒绝域内，那么报绝原假设。

假设检验的一般步骤

将假设检验的一般步骤归纳如下：

（1）定义总体。

（2）确定原假设和备择假设。

（3）选择检验统计量（研究的是统计量：z值、t值、f值和卡方值）。

（4）选择显著性水平（一般约定俗成的定义为005）

（5）从总体进行抽样，得到一定的数据。

（6）根据样本数据计算检验统计量的具体值。

（7）依据所构造的检验统计量的抽样分布和显著性水平，确定临界值和拒绝域。

（8）比较检验统计量的值与临界值，如果检验统计量的值在拒绝域内，则拒绝原假设。

例1-10：某茶叶厂用自动包装机将茶叶装袋。每袋的标准质量规定为\(100g\) 。每天开工时，需要检验一下包装机工作是否止常。根据以往的经验知道，用自动包装机装袋质量服从正态分布，装袋质量的标准差\(s\) =1.15(g) 。某日开工后，抽测了9袋，其质量如下(单位： g)：

99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5。试问此包装机工作是否正常？ 解法如下：

设茶叶装袋质量为\(X\) g ， \(X\sim N(m,1.15^{2})\) ）。现在的问题是茶叶袋的平均质量是否为\(100g\) 即原假设\(m=100\) ，记作\(H0:m=100\) ，记备择假设\(H1:m\neq0\) 。

如果这个假设H0成立，则\(X\sim N(100,1.15^{2})\)

取统计量：

$$U=\frac{\bar{X}-100}{1.15/\sqrt{9}}$$

根据中心法则和\(z\) 值的定义，这个统计量服从标准正态分布，即：

$$U=\frac{\overline{X}-100}{1.15\:/\:\sqrt{9}}\sim N\bigl(0,1\bigr)$$

下面，定义一个选择显著性水平，比如a \(i\) =0.05 ，当事件的发生概率小于这个值时，则事件是一个小概率事件。根据标准正态分布的概率密度表查得\(u_{0.025}=1.96\) ，又\(\overline{x}=99.98\) ， 得统计量U的观测值：

$$u=\frac{\overline{x}-100}{1.15/\sqrt{9}}=-0.052$$

由于\(\left|u\right|=0.052<1.96\) ，所以小概率事件\(\left\{\left|\frac{\bar{X}-100}{1.15/\sqrt{9}}\right|\geq u_{0.025}\right\}\) 没有发生，因此可认为原来的假设H0成立，即： \(m=100\) 。

假设检验的决策标准

由于检验是利用事先给定显著性水平的方法来控制犯错概率的，所以对于两个数据比较相近的假设检验，无法知道哪一个假设更容易犯错，即通过这种方法只能知道根据这次抽样而犯第一类错误的最大概率，而无法知道具体在多大概率水平上犯错。计算P值有效的解决

了这个问题，P值其实就是按照抽样分布计算的一个概率值，这个值是根据检验统计量计算出来的。

通过直接比较P值与给定的显著性水平a的大小就可以知道是否拒绝原假设，显然这就可以代替比较检验统计量的具体值与临界值的大小的方法。而且通过这种方法，还可以知道在P值小于a的情况下犯第一类错误的实际概率是多少。假如\(\mathbf{P}=0.03<a\) (0.05)，那么拒绝假设，这一决策可能犯错的概率就是0.03。

因此假设检验的第7.8步可以改成

（7）利用检验统计量的具体值计算p值。

（8）将给定的显著性水平a与p值比较，作出结论：如果p值\(\le a\)，则拒绝原假设。

附：用于解读p值的指导意见：P值小于0.01一一强有力的证据判定备择假设为真： 值介于0.01~0.05—一有力的证据判定备择假设为真；p值介于0.05~0.1——较弱的证据判定备择假设为真：P值大于0.1一一没有足够的证据判定备择假设为真。

需要指出的是，如果\(p>a\) ，那么原假设不被拒绝，在这种情况下，实际上是无法做出决策的。如果需要做出决策，那么此时就需要关注犯第二类错误的概率。当同时控制第一类错误和第二类错误发生的概率时，假设检验的结论就是：拒绝原假设或接受原假设。

利用P值再做一遍刚才的例题，过程如下：

设茶叶装袋质量为\(Xg\) ， \(X\sim N(m,1.15^{2}\) )。现在的问题是茶叶袋的平均质量是否为\(100g\) 即假设\(m=100\) ，记作\(H0:m=100\) ，记备择假设\(H!m\neq0\) 。

如果这个假设HO 成立，则\(X\sim N(100,1.15^{2})\)

取统计量：

$$U=\frac{\bar{X}-100}{1.15/\sqrt{9}}$$

根据中心法则和\(z\) 值的定义，这个统计量服从标准正态分布，即：

$$U=\frac{\overline{X}-100}{1.15\:/\:\sqrt{9}}\sim N\bigl(0,1\bigr)$$

下面，定义一个选择显著性水平，比如a =0.05 ，当事件的发生概率小于这个值时，则事件是一个小概率事件。根据标准正态分布的概率密度表查得\(u_{0.02s}=1.96\) ，又\(\overline{x}=99.98\) ， 得统计量\(U\) 的观测值：

$$u=\frac{\overline{x}-100}{1.15/\sqrt{9}}=-0.052$$

根据标准正态分布的概率密度表查得\(\left|u\right|=0.052\) 的概率P为0.96>0.05 ，则事件不是一个小概率事件，零假设成立。

与上述例子类似，假设性检验的种类根据统计量的不同主要包括：z检验、t检验、F检验还是卡方检验。

\(z\) 检验是在已知总体方差或标准差，且样本量较大（通常超过30）的情境下，对样本均值与某个已知的总体均值进行比较的方法。这种检验适用于总体分布已知的大样本情境。想象在制作一款广受欢迎的面包时，已知过去该面包的平均重量是500克，但在新的生产线上想确认新生产的面包重量是否仍然相同。如果每天都生产数于个面包，就可以使用z检验来判断。

与z检验相似，t检验也用于均值的比较。但它主要应用于小样本，且当总体方差未知时。继续上述例子，假设只做了10个新款式的蛋糕，并想知道它们的平均重量是否与老款式的10个蛋糕相同。因为样本较小，就可以使用t检验。t检验有几种不同的形式。单样本t检验用于比较样本均值与某个特定值：独立样本t检验则用于比较两个独立样本的均值： 而配对样本t检验则是用于比较同一群体在不同条件下的两次测量结果。需要注意的是， 分布在形状上与正态分布相似，但其尾部更为“厚重”。

F检验主要用于方差分析，比如比较两个或多个样本的方差，或在回归分析中比较模型的拟合优度。考虑一下，当在尝试三种不同的烘赔方法来制作饼干时，想知道这三种方法是否会导致饼干有不同的脆度。就可以使用F检验来比较这三组饼干的方差，看看是否有显著差异。F值是两个方差之比，其分布是正偏态的，这与检验不同，后者只对两个均值进行比较。

最后，卡方检验专门用于分类数据。假设进行了一个调查，问顾客他们更喜欢哪种口味的冰淇淋：巧克力、草莓还是香草。想知道男性和女性之间是否有口味上的偏好差异。卡方检验可以辅助检查这两个分类变量（性别和口味倡好）之间是否存在关联。除了检查两个分类变量之间是否独立（独立性检验）之外，它还可以用来检查观察到的分类数据与预期频率的匹配程度（适配度检验）。

总的来说，选择哪种假设检验方法取决于研究的目的、数据的类型以及对总体参数的知识。这些检验方法为研究者提供了一套工具，帮助他们在统计上对数据进行合理的解释和半断。