重拾微分

微分（differential）和导数（derivative）都与函数的变化率有关，它们是两个相关但不完全相同的概念。首先一起深入了解这两者的定义和区别。

导数

导数描述了一个函数在某一点上的切线斜率。如果有一个函数$y=f(x)$，则其在点x处的导数通常表示为\(f'(x)\)或 \(\frac{dy}{dx}\) 。导数的定义是函数在该点的平均变化率的极限，公式如下：

$$f'(x) = \lim_{x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

微分

微分描述了函数值的微小变化与自变量的微小变化之间的关系。对于函数\(y = f(x)\)，它的微分表示为\(dy\)和\(dx\)，其中\(dy\)是函数值的微小变化，而\(dx\)是自变量的微小变化。微分的定义基于导数，可以表示为：

$$dy = f'(x) \cdot dx$$

所以，导数和微分都与函数的变化率有关，但它们的重点略有不同。导数关注的是函数在某点的切线斜率，而微分关注的是函数值的微小变化与自变量的微小变化之间的关系。简言之，导数是一个比率或斜率的概念，而微分描述了当自变量发生微小变化时，因变量如何变化。
下面笔者分别从几何、物理和代数角度解释导数的含义。
导数的几何解释是：该函数曲线在这一点上的切线斜率。
导数的物理解释是： 导数物理意义随不同物理量而不同,但都是该量的变化的快慢函数，即变化率。
导数的代数解释是：更精细的除法运算。
前两个解释的角度相信读者已经很熟悉了，那么怎么理解导数的代数是更精细的除法运算这一说法呢？
举一个物理例子：距离s = 25m，时间t = 5s，求平均速度v？
这个问题很好回答，正常的除法即可轻松处理（\(v = s/t\)）。但是如果速度不是均速，而且希望求得第5秒时的瞬时速度，怎么办？

$$v=\left.\frac{ds}{dt}\right|_{t=5}\lim_{\Delta t \to 0}\frac{s(5+\Delta t) – s(5)}{\Delta t}$$

如公式(1-3)的解法，\(\Delta t\) 是一个很多的时段，用\((5+\Delta t)\)时刻走过的路程\(s(5+\Delta t)\)减去第五秒时走过的路程\(s(5)\)，再除以时段\(Delta t\)，解得的就是第五秒时的瞬时速度。当无穷小时，就是导数的概念了，即\(\displaystyle ​\lim_{\Delta t \to 0}\frac{s(5+\Delta t) – s(5)}{\Delta t}\)。
可以看出来导数是即时的变化率，放在路程和时间这个物理场景下，瞬时速度就是路程的即时变化率。其求解的方法就是一个简单的除法而已！本质上还是除法运算。

微分的解读

回忆一下微分的数学表达式：

$$\frac{dy}{dx} = f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$

导数含义的解读：

（1）导数揭示了函数\(f(x)\)在某点的切线斜率。

（2）导数揭示了函数\(f(x)\)在某点的变动规律。

在这里笔者更推崇第二种解读方法。其实可以把\(dx\)乘到等号右边去会更形象，即：

$$\frac{dy}{dx} = f'(x)$$

$$dy = f'(x)dx$$

举个例子来解读什么叫函数\(f(x)\)在某点的变动规律。假设\(f(x) = x^2\)，求\(x = 5\)处的导数。

$$\frac{dy}{dx} = 2x = 10 \quad dy = 10dx$$

即，变量\(x\)变动一点点，将引起函数\(f(x)\)值相对于变量\(x\)十倍的变化。这点很重要。

可以根据这个解读来推导一下微分的乘法法则和幂法则。举一个例子，假设函数\(h(x) = f(x) \cdot g(x)\)，先回忆一下微分的乘法法则：

$$h'(x) = [f(x)\cdot g(x)]’ = f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x) = f’g+fg’（或写作df \cdot g + dg \cdot f）$$

下面来推导一下乘法法则怎么来的。首先，把函数\(h(x) = f(x) \cdot g(x)\)放在求解矩形面积这个例子中，即\(h(x)\)是矩形面积、\(f(x)\)是宽、\(g(x)\)是高，此时当变量\(x\)变动一点点时，根据微分的解读，其意义是矩形面积的变动率，如图一所示。

图一 微分推导示意图

其中\(dh\)为面积的变动，即图1-1中深色的部分：\(dh(x) = df(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot dg(x) + df(x) \cdot dg(x) \) ，由于\(df(x) \cdot dg(x)\)是二阶无穷小，约等于0，可以约掉；再在等号左右分别除去\(dx\)就得到了微分的乘法法则。此时，\(dh\)为面积的变动，而\(\frac{dh}{dx}\)为面积的变动率。

下面来推导一下这个导数的幂法则怎么来的，先来回忆一下幂法则：

$$\frac{d(x^n)}{dx} = nx^{n-1}$$

还用刚刚的例子，如果此时\(f(x)\)和\(g(x)\)都等于\(x\)，那么\(h(x) = x^2,dh = dx^2，如图二所示。

图二 导数幂法则推导

此时正方形面积的变动根据公式推导如下：

$$dh = x \cdot dx + x \cdot dx + dx \cdot dx = 2xdx$$

因为\(dh = dx^2\)，带入整理得到\(\frac{dx^2}{dx} = 2x\)。

这个推导结果与直接使用幂法则\(dh = dx^2 = 2x \)求得的结果是一致的。同样的方法推广到三维空间，乘法法则和幂法则的推导也是适用的，如图三所示：

图三 高维空间的导数乘法法则和幂法则推导

此时的体积计算公式为\(y = f(x) \cdot g(x) \cdot z(x)\)，体积的变动为：

$$dy = dx\cdot x^2 + dx\cdot x^2 + dx\cdot x^2 = 3x^2dx$$

体积的变动率\(\frac{dy}{dx}\)为：

$$\frac{dy}{dx}=3x^2$$

根据这个规律可以继续推广到高维空间，这里就不方便做可视化了。