向量的线性组合

什么是向量

在上述讲解中，已经涉及了三个主要的数学系统：线性方程组、函数图形和矩阵。现在将介绍第四个系统：向量。线性代数的一个核心挑战是它涵盖了多个数学系统。要成功掌握线性代数，关键的学习策略是理解这些系统之间的联系和互动。通过将知识点在不同系统中的应用相互关联，可以更深入地理解概念，实现知识的融会贯通。

首先看一下向量的通俗理解： 向量是一个指令，不是一个坐标，可以存在于坐标系下的任何位置。怎么理解呢？如图所示：

向量\(\left(\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right)\)可以看作向右走两个单位，向上走一个单位。它可以存在于坐标系下的任何位置。\(\left(\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right)\)并不代表其在坐标系中的\(x\)轴和\(y\)轴坐标。

向量的数乘

向量的数乘（scalor）指用一个标量来乘向量，改变的是向量长短，不改变方向。如：

$$2\left[\begin{matrix}{2}\\{1}\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}{4}\\{2}\\ \end{matrix}\right]$$

向量的加法

向量的加法（
vector addition
）计算采用平行四边形法则（首尾相连）：以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。如图所示。

举个例子：

$$\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$$

按照指令翻译的话：向右移动两个单位
→向上移动一个单位→向左移动一个单位→向上移动一个单位。

向量的线性组合

向量的线性组合（linear combination）：实际上就是向量数乘和向量加法的组合。可以用公式\(x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+\cdots+x_{n}a_{n}\)表示。其中\(x_n\)是常数，如：

$$2\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix}$$

$$x_{1}\left[ \begin{array}{c}{2}\\ {1}\\ \end{array}\right]+x_{2}\left[ \begin{array}{c}{-1}\\ {1}\\ \end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}{0}\\ {-2}\\ \end{array}\right]\overset{\text{转化为线性方程组求解}}{\rightarrow}\left\{ \begin{matrix}{2x_{1}-x_{2}=0}\\ {x_{1}+x_{2}=-2}\\ \end{matrix}\right.$$