向量乘法

向量的点积和内积

记录：没有对2、3、N维向量的各种乘法计算的情况进行更细致的划分和讲解，如叉积只展示了两个三维向量的叉积计算。

向量的点积和内积（Inner Product, dot product），用\(\cdot\)表示，两个向量的行列数必须相同，点积的结果是对应元素相乘后求和，结果是一个标量，因此也叫向量的数量积，如：

$$\begin{aligned}&\vec{a} = (a_1,a_2,\cdots,a_n)\\ &\vec{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)\\&\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\end{aligned}$$

点积的几何意义可以用来计算两个向量的夹角：\(cos(q) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{a}||\vec{b}|}\)

至于向量长度的求解，n维向量的长度：\(\left \| x \right \| =\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}\geq 0\)，类似单竖线表示实数的绝对值，双竖线表示向量的模长，且当\(\|\vec{x}\|=1\)时称\(\vec{x}\)为单位向量。

向量的数乘

数乘：实数\(l\)与向量\(vec{x}\)之间的点积称为向量的数乘（不是数量积）。二者相乘后的结果是一个新向量，并且新向量的模长等于\(l\)的绝对值与向量\(\vec{x}\)的模长之间的乘积，即\(\|l\cdot \vec{x}\|=|l|\cdot \|\vec{x}\|\)；也满足三角不等式，即\(\|\vec{x}+\vec{y}\|\leq \|\vec{x}\|+\|\vec{y}\|\)。

向量的外积

向量的外积（Outer product），用\(otimes\)表示，如：

$$\begin{aligned}&\vec{u}=(u_1,u_2,\cdots u_m)\\ &\vec{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_m)\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}
&\vec{u}\otimes \vec{v}=\begin{bmatrix}u_{1}\nu_{1}&u_{1}\nu_{2}&\cdots&u_{1}\nu_{n}\\ u_{2}\nu_{1}&u_{2}\nu_{2}&\cdots&u_{2}\nu_{n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ u_{m}\nu_{1}&u_{m}\nu_{2}&\cdots&u_{m}\nu_{n}\end{bmatrix}
\end{aligned}$$

向量的叉积

$$\begin{aligned}
&a=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right) \\
&\boldsymbol{b}=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right) \\
&\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\ x_{1}&y_{1}&z_{1}\\ \\ x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{vmatrix}=\begin{pmatrix}y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}\end{pmatrix}\boldsymbol{i}+\begin{pmatrix}z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1}\end{pmatrix}\boldsymbol{j}+\begin{pmatrix}x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}\boldsymbol{k} \\
&\boldsymbol{i}=[1,0,0],\boldsymbol{j}=[0,1,0],\boldsymbol{k}=[0,0,1]
\end{aligned}$$

读者可能对叉积不太熟悉，其计算结果的几何意义是两个向量的法向量。举个例子： (a) 是(x) 轴的单位向量， (b) 是(y) 轴的单位向量，二者叉积的结果就是(z) 轴的单位向量，即

$$\begin{aligned}
&a=(1,0,0) \\
&\boldsymbol{b}=(0,1,0) \\
&i=(1,0,0) \\
&j=(0,1,0) \\
&k=(0,0,1) \\
&a\times b=\begin{vmatrix}i&j&k\\ 1&0&0\\ 0&1&0\end{vmatrix}=(0\times0-0\times1)i+(0\times0-0\times1)j+(1\times1-0\times0)k=k
\end{aligned}$$